La Proporción Áurea
Parte I . La Geometría
Su nombre tiene algo de mítico
porque suena mucho más de lo que realmente se le conoce. Se le llama
también divina proporción, número de oro, regla dorada,
etc. Su construcción y uso no es nada complicado, lo que pasa es que
es mucho más inmediato hacer una proporción estática,
basada en la igualdad, como dividir algo por un número entero, lo mismo
que establecer un ritmo de crecimiento a partir de por ejemplo la duplicación:
1, 2, 4, 8, 16... En el mundo de la informática es lo usual, y cuando
nos condicionan factores materiales, espaciales, físicos, la cuadrícula
es la forma más cómoda de adaptarse a estos condicionantes.
Sin embargo en la naturaleza se manifiestan otras organizaciones formales
y principios proporcionales mucho más interesantes como modelo para
el trabajo creativo.
La proporción áurea está
formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III), en una construcción
geométrica denominada División de un segmento en media y
extrema razón. La idea es tan simple como perfecta: El todo se
divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte
menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir,
la suma de ambas.
El segmento de partida es AB. Para
aplicarle la Sección Áurea se le coloca perpendicularmente en
un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. Se define así
un triángulo rectángulo con los catetos en proporción
1:2. Pues bien, a la hipotenusa se le resta el cateto menor (arco de la derecha)
y la diferencia, que llevamos al segmento AB con otro arco, es la sección
áurea de éste. La parte menor Bfi es a la mayor Afi como ésta
es a la suma AB.
Igual de simple es hacer la operación
inversa, es decir, averiguar de qué medida es sección áurea
el segmento AB. Formamos el mismo triángulo que antes, pero en lugar
de restar a la hipotenusa el cateto menor, se le suma. AB es sección
áurea de Afi, y este segmento es la suma de AB y su sección
áurea hallada en el esquema anterior, por supuesto.
Un rectángulo áureo es
aquel en que sus lados están en razón áurea. Se puede
construir rápidamente a partir de un cuadrado: cogemos el punto medio
de la base, tomamos con un compás la distancia hasta uno de los vértices
superiores y con un arco llevamos esta medida a la prolongación de
la base. El rectángulo ampliado es áureo, como también
la ampliación, si suprimimos el cuadrado inicial, tiene esta misma
proporción:
A veces vemos estas otras construcciones,
pero hacen lo mismo que la anterior, definir un triángulo rectángulo
con un lado y la mitad de otro, restar la mitad a la hipotenusa y aplicar
la diferencia como ampliación del cuadrado:
A continuación comento algunas
curiosidades geométricas, pero quien sólo le interese el trazado
y hacer alguna prueba, puede saltar esta parte.
La (pseudo)espiral logarítmica
Del gráfico anterior, deducimos que a cualquier rectángulo áureo
se le puede restar por su lado menor o bien añadir por su lado mayor
un cuadrado, y el resultado sigue siendo un rectángulo áureo.
En gnomónica diríamos que el cuadrado es el gnomon del rectángulo
áureo (traduzco: gnomon es aquella figura que añadida a otra
le proporciona más superficie sin cambiar la forma). Esta propiedad
se ilustra frecuentemente con esta espiral logarítmica:
Lo de espiral logarítmica hay que
matizarlo, es una pseudo-espiral porque se forma con arcos de 90º de
circunferencia inscritos en cada cuadrado y enlazados entre sí, mientras
que en una verdadera espiral hay un cambio de curvatura constante, no cambios
puntuales. Pero crece en proporción geométrica, por eso lo de
logarítmica.
Su valor numérico
Si hacemos la construcción del rectángulo áureo hacia
los dos lados de un cuadrado, el total es un rectángulo Raiz de cinco
(sus lados están en proporción 1:R5)
Se ve aún más claro si ponemos
un doble cuadrado. Por el Teorema de Pitágoras sabemos que su diagonal
mide Raiz de 5, y es el doble que el radio utilizado en las construcciones
anteriores. Así que realmente lo que estábamos haciendo con
aquel triángulo era sumar o restar 0'5 a la hipotenusa que es 1/2 de
R5.
La fórmula por tanto es fi = R5+1
/ 2 = 1'61803398
Y su inversa (sección áurea) fi = R5-1 / 2 = 0'61803398
Se ve perfectamente que forman una serie aditiva, porque entre los dos valores
está el factor 1.
Fibonacci
La relación de esta proporción con Leonardo de Pisa, más
conocido por Fibonacci (s.XVI) es que éste matemático indicó
a los criadores de conejos la conveniencia de prever la producción
calculando las cantidades de ejemplares en series aditivas: cada mes una pareja
produce como media dos crías, que al mes siguiente ya pueden procrear,
como también la pareja inicial. Así que cada previsión
es la suma de la anterior más su producción. A estas series,
en que cada término es la suma de los dos anteriores, se les llama
desde entonces series de Fibonacci. Pues bien, resulta que el límite
de cualquiera de estas series es la razón áurea: 1,618033989.
Es decir, tomamos dos números cualquiera como 2 y 6. Si iniciamos una
serie los siguientes términos serían 8, 14, 22, 36, etc. Si
observamos la razón entre cada término y el anterior veremos
que comienza en 3, sigue en 4/3, y va oscilando aproximándose cada
vez más a un valor que en 7 u 8 pasos ya es indistinguible de 1,618
En todo caso, la progresión en razón áurea es la única
que reúne dos características: ser serie de Fibonacci (aditiva)
y geométrica. Cada término es la suma de los dos anteriores
y es media proporcional entre el anterior y el siguiente.
Su nombre y nomenclatura
La Divina Proporción es el título de un tratado sobre
las propiedades de esta razón y su presencia en los poliedros regulares,
debido a Fra Luca Pacioli, con el interés añadido de que la
obra estuvo ilustrada por Leonardo da Vinci. En el siglo XIX y principios
del XX hubo un interés muy grande por esta proporción, y desde
entonces se suele indicar con la legra griega fi, unos dicen que en honor
de Fidias y otros que en relación con Fibonacci.
En orden creciente, se dice que cada término es "sección"
áurea del siguiente, mientras que el valor nominal fi es el factor
de progresión 1,618. Así que la mejor manera para no confundirse
es esta:
Su relación con el
pentágono y dodecágono regulares
Comenté en algún articulillo anterior que hay tres grandes familias
geométricas, regidas por tres raíces: R2, R3 y R5. La R2 regula
la estructura del cuadrado, la duplicación. R3 rige las propiedades
del triángulo equilátero y el hexágono. En base a cualquiera
de las dos podemos organizar en red todo el plano, resolviendo lo que comentaba
antes, de "acatar" las limitaciones físicas
La tercera familia, de Raíz
de 5, la proporción áurea y el pentágono, no ofrece utilidades
inmediatas, con élla es imposible generar estructuras isótropas
que cubran todo el espacio. No se accede a sus propiedades por simple deducción
visual, sinó a costa de una observación activa, intencionada.
Desde la admiración de los pitagóricos por el pentágono
estrellado hasta la construcción de cúpulas geodésicas
derivadas del icosaedro, siempre ha tenido ese carácter oculto, contemplativo,
abstracto, tan atractivo para los amantes de la geometría y las matemáticas.
Sin embargo, es un sistema muy compacto; allí donde aparece está
en todas partes. Para construir el pentágono regular, bien a partir
del lado base, bien circunscrito en una circunferencia, siempre tenemos que
recurrir a la proporción áurea: se ve claramente que las operaciones
son las mismas que vimos antes:
Esto es porque todos los elementos están
relacionados entre sí por esta proporción:
A- El lado es sección áurea
de la diagonal.
B- Cada diagonal divide a otras dos según la sección áurea.
C- Si hacemos un rectángulo áureo con el radio r como lado mayor,
la diagonal es igual al lado del pentágono, y el lado menor igual al
lado del decágono.
D- Si hacemos un rectángulo
áureo con el radio r como lado menor, la diagonal mide igual que la
diagonal del pentágono.
E- El radio es sección áurea del diámetro de la circunferencia
inscrita, que es el doble de la apotema.
F- La altura h del pentágono mide R5 en relación a la apotema.
El Pentagrama pitagórico
Los pitagóricos adoptaron como símbolo el Pentágono regular
estrellado. Se le llamó también Pentagrama y Pentalfa (cinco
puntas en forma de alfa). Aparte de la simbología de su número,
su propiedad geométrica es que todos los segmentos están en
progresión áurea.
El triángulo del pentalfa, también
llamado Triángulo Sublime y Triángulo áureo mayor, tiene
sus lados en proporción áurea, y sus ángulos en razón
simple 1:2:2. Aparece en diversas formas en el pentágono y el decágono:
Su complementario, el Triángulo
Divino o Triángulo áureo menor, también es isósceles,
también tiene sus lados en proporción áurea, y sus ángulos
en razón simple 3:1:1. Aparece en el Pentágono:
De hecho, si dividimos un pentágono
usando vértices y cruces de diagonales siempre lo descompondremos en
varios triángulos de ambos tipos. Si partimos uno de estos triángulos
desde un vértice a la sección áurea del lado contrario,
la división dará un triángulo de cada tipo. A la inversa,
adosando a uno de éllos el contrario, se puede agrandar la superficie
del primero. Por lo tanto, cada uno es gnomon del otro.
Las superficies de los triángulos
así divididos guardan la proporción áurea. El área
del Pentágono regular, como vemos en la última figura, es R5
veces el del triángulo central. La proporción se manifiesta
en todas partes, como un sistema perfectamente coherente.
Su presencia en el Dodecaedro
y el Icosaedro
Entre los sólidos platónicos, estos dos participan de la proporción
áurea en diversas cosas. Por ejemplo, en el Dodecaedro, la arista es
sección áurea de la diagonal de cara, y ésta lo es de
la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre una cara, las alturas
de los vértices intermedios seccionan en sentido alterno la altura
total. Visto desde arriba, los radios de las circunferencias que pasan por
los vértices de las bases y por los vértices intermedios, están
en razón áurea.
En el Icosaedro podemos inscribir tres
rectángulos áureos perpendiculares entre si, lo que significa
que la arista es sección áurea de la distancia entre aristas
opuestas. Si lo colocamos sobre un vértice, los tramos de las alturas
siguen la razón áurea, como también, visto desde arriba
sobre una cara, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices
de las bases y por los vértices intermedios.
Echadle un vistazo ya que creo que tiene cosas interesantes.
Mapa en 3D del bosque alemán de Traunstein. |ESA
Foto: Luis Davilla
